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Ejemplos de Circuito RLC con fuente

En un circuito RLC tenemos ademas de la tension de alimentacion E,la tension debida a la capacitancia C y la tension debida a la inductancia estas tensiones son contrarias a la tension de la fuente ,de manera que podemos escribir la ley de Ohm en la forma

I = / R............(1)

Al existir corriente la variacion de la carga Q en las placas del capacitor se expresa en la formula

dQ = I.dt
I = dQ/dt..............(2)

Poniendo el valor de I segun (2) en (1)

dQ/dt = E/R - Q/RC - (L/R).(d²Q/dt²)

Agrupando convenientemente los terminos podemos escribir la ecuacion diferencial de 2º orden no homogenea

d²Q/dt² + (R/L).dQ/dt + Q/LC = (Eº/L)senwt

La resolución de esta ecuación se hace de acuerdo a la formula general

Q=(Eº/L)exp(n1.t) .{ INT exp(n2-n1)t .dt }

Siendo los numeros n1 y n2 las soluciones de la ecuacion de 2º asociada a la ecuacion diferencial homogenea del primer miembro de la ecuacion planteada

Resolviendo primero la integral interior

INT exp(-n2.t).senwt.dt = - (n2senwt + wcoswt)exp(-n2.t)/(n2² +w² )

Q =(Eº/L).exp(n1t)INT - (n2.senwt + wcoswt)exp(-n1.t).dt/(n2²+w²)

Q = (Eº/L)exp(n1.t).- w(w.senwt - n1coswt)exp(-n1.t)/(n2²+w²)(n1²+w²) >

Q =(Eº/L).<(n2.n1- w²)senwt + (n2+n1)w.coswt >/(n2²+w²)(n1²+w²).......(3)


Procedemos a determinar los numeros n1 y n2 ,de acuerdo a la ecuacion homogenea de 2º caracteristica asociada a la ecuacion diferencial planteada

n(1;2) = - (R/2L) +/- <(R²/4L²) - (1/LC)>¹/²

Haciendo
a= -R/2L
b = ¹/²

n2.n1 = (a+b)(a - b) = a² - b² ------> n2.n1 = 1/LC

n2 + n1 = -(R/L)

Vamos a calcular el valor del denominador de la expresion (3)

(n2²+w²)(n1²+w²) = n2².n1²+ (n2²+n1²)w² + (w²)²
= (1/L²C²) + <(a+b)²+(a-b)²>w² + (w²)²
Restituyendo los valores de a y b y operando se obtiene :

(n2²+w²)(n1²+w²) = (1/L²C²)+2 <(R²/2L²) - (1/LC)>w² + (w²)²

Podemos escribir ahora
Q = (Eº/L) {<(1/LC)-w²>senwt - (Rw/L)coswt}/(1/C²L²)-(2w²/LC)+(w²)²+R²w…&#135;
Q = (Eº/L) {<(1/LC) - w²>senwt - (Rw/L)coswt} /{<(1/LC)-w²>²+R²w²/L²}
Q = (Eº/L) {<(1/LC)-w²>senwt - (Rw/L).coswt} /{<(1/LC)-w²>²+(R²w²/L)²}(4)

La expresion (4) se puede poner en la forma mas conveniente

Q = (E/L) sen(wt - ß) / <(1/LC - w²)² + R²w²/L²>¹/²

En la que:

sen(wt - ß) = cosßsenwt - senßcoswt

cosß =(1/LC - w²)/<(1/LC- w²)² + R²w²/L²>¹/²
senß = (Rw/L)/<1/LC - w²)² + R²w²/L²>¹/²

tgß = Rw/L(1/LC - w²)

ß = arctg R/(1/Cw - Lw)..........(5)

I= dQ/dt = (Ew/L).cos(wt - ß)/<(1/LC - w²)² + R²w²/L²>¹/²

I = Eº.cos(wt - ß)/<(1/Cw - Lw)² + R²>¹/²

De acuerdo al resultado se produce un desfase ß de la intensidad de corriente con respecto a la tension de la fuente
E = Eº.senwt
El valor del dsfase ß esta dado por (5)


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