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Ecuaciones trigonométricas de segundo grado
Enviado por Ejemplos de Ecuaciones trigonométricas de segundo grado
Aquí van algunos ejemplos de ecuaciones trigonometricas de segundo grado con una sola variable:
a) sen(2x)=2sen(x)
2sen(x).cos(x)=2sen(x).
sen(x).cos(x)=sen(x).
sen x (cos x – 1) = 0
senx =0, cosx = 1
x=0 +2kpi, x=180+2kpi
b) cos x * cotg x= 3/2
Sustituimos cotg por cos/sen:
cos x *cos x/sen x=3/2
Y operando:
cos^2x=3/2sen x
1-sen^2 x =3/2 sen x
2- 2 sen^2 x =3 sen x
2 sen^2 x +3 sen x -2=0
Que es una ecuación de segundo grado en sen x.
sen(x)=(-3+raiz(9+16))/4= 1/2
sen(x)=(-3-raiz(9+16))/4=-2 (no la consideramos: el sen no puede ser mayor que 1)
Si sen x =1/2, x= 30+2kpi ó x=150º+2kpi
c) cotg^3(3x)+4cos^(3x)=3
Hacemos 3x=z
cotg^2z+4cos^2z=3
cos^2z/sen^2z+4cos^2z=3
cos^2z+4cos^2z(1-cos^2z) =3 - 3cos^2z
cos^2z+4cos^2z-4cos^4z=3-3cos^2z
4cos^4z-8cos^2z+3=0
Ahora haceemos cos^2(z)=t
4t^2-8t+3=0
Las soluciones son t1=3/2, t2=1/2.
Luego cos^2z=1/2 (no puede ser 3/2 pues es mayor que 1)
Y cos(z)=raiz(2)/2
Luego z=45º + k*360
e z=315º + k*360
Y
x=z/3, x=15º+ k*120
x=z/3, x= 105 + k*120
d) sen x + cos x = 1
elevando al cuadrado:
sen^2 x + cos^2 x + 2 sen x cos x = 1
2senx cos x = 1
sen2x = 1
2x = 90º + 2kpi
x=45 + kpi
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